Toán 10 Cánh Diều trang 86 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 1 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

Bạn đang đọc: Toán 10 Cánh Diều trang 86 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải:

a ) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình

Hệ trên tương tự với

Hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = 97 ; 47 .
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 có 1 điểm chung, tức là chúng cắt nhau tại giao điểm 97 ; 47 .
b ) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d3 và d4 là nghiệm của hệ phương trình

Hệ trên tương tự với

Do đó, hệ vô nghiệm .
Vậy hai đường thẳng d3 và d4 không có điểm chung, tức là d3 / / d4 .
c ) Đường thẳng d5 có một vectơ pháp tuyến là n5 → = 4 ; 2, do đó nó có một vectơ chỉ phương là u5 → = 2 ; − 4 .
Đường thẳng d6 có một vectơ chỉ phương là u6 → = 1 ; − 2 .
Ta có : u5 → = 2 u6 → nên hai vectơ u5 →, u6 → cùng phương .
Ứng với t = 0, thay vào phương trình d6, ta được

Do đó, điểm M − 12 ; 52 thuộc đường thẳng d6 .
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d5, ta được : 4. − 12 + 2.52 − 3 = 0 ⇔ 0 = 0 .
Khi đó điểm M thuộc đường thẳng d5 .
Vậy hai đường thẳng d5 và d6 trùng nhau .

Bài 2 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng d1: 2x – y + 5 = 0 và d2: x – 3y + 3 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là n1 → = 2 ; − 1 .
Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là n2 → = 1 ; − 3 .

Vậy ( d1, d2 ) = 45 ° .

Bài 3 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

a ) Khoảng cách từ A đến ∆ 1 là :

b ) Đường thẳng ∆ 2 có một vectơ chỉ phương là u2 → = 1 ; − 2, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là n2 → = 2 ; 1 .
Ứng với t = 0 thay vào phương trình ∆ 2 ta được :

Do đó điểm H ( – 2 ; 1 ) thuộc ∆ 2 .
Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 2 là 2 ( x + 2 ) + 1 ( y – 1 ) = 0 hay 2 x + y + 3 = 0 .
Do đó, khoảng cách từ B đến ∆ 2 là :

Bài 4 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

Δ1 : mx – y + 1 = 0 và Δ2 : 2 x – y + 3 = 0 .

Lời giải:

Đường thẳng ∆ 1 có một vectơ pháp tuyến là n1 → = m ; − 1 .
Đường thẳng ∆ 2 có một vectơ pháp tuyến là n2 → = 2 ; − 1. Ta có : ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ ⇔ n1 → ⊥ n2 → ⇔ n1 →. n2 → = 0 ⇔ m. 2 + ( – 1 ). ( – 1 ) = 0 ⇔ m = − 12 .

Vậy m = −12 thì hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau.

Xem thêm: Ngất ngây những món ăn ngon ở Buôn Ma Thuột thử ngay kẻo lỡ

Bài 5 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; – 1), B(1; 2) và C(4; – 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Lời giải:

Ta có : AB → = − 1 ; 3, AC → = 2 ; − 1 .

Do đó, BAC ^ = 135 °

Do đó, ( AB, AC ) = 45 ° .

Bài 6 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C .
Do d đi qua B ( – 1 ; 2 ) nên phương trình đường thẳng d có dạng a ( x + 1 ) + b ( y – 2 ) = 0 hay ax + by + a – 2 b = 0 ( với a và b không đồng thời bằng 0 ) .
Vì d cách đều A và C nên d ( A, d ) = d ( C, d ) .

Trường hợp 1 : 3 a + 2 b = 4 a – 3 b ⇔ a = 5 b .
Chọn b = 1, a = 5. 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5 x + y + 5 – 2 = 0 hay 5 x + y + 3 = 0 .
Trường hợp 2 : 3 a + 2 b = – ( 4 a – 3 b ) ⇔ 7 a = b .
Chọn a = 1, b = 7. 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7 y + 1 – 2. 7 = 0 hay x + 7 y – 13 = 0 .
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5 x + y + 3 = 0 hoặc x + 7 y – 13 = 0 .
Lưu ý : Do vectơ n → = a ; b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta hoàn toàn có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại .

Bài 7 trang 86 Toán lớp 10 Tập 2: Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t≥0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức , vị trí của tàu B có tọa độ là (4-30t ; 3-40t).

a ) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B .
b ) Sau bao lâu kể từ thời gian xuất phát hai tàu gần nhau nhất ?
c ) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí bắt đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu ?

Lời giải:

a ) Giả sử đường đi của tàu A là d1, khi đó phương trình d1 :

Giả sử đường đi của tàu B là d2, vị trí của tàu B có tọa độ là ( 4 – 30 t ; 3 – 40 t ) nên phương trình d2 :

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u1 → = − 33 ; 25 .
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là u2 → = − 30 ; − 40 .

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là 151714 .
b ) Đường thẳng d1 đi qua điểm A ( 3 ; – 4 ) và có một vectơ pháp tuyến là n1 → = 25 ; 33 .
Do đó phương trình tổng quát của d1 là 25 ( x – 3 ) + 33 ( y + 4 ) = 0 hay 25 x + 33 y + 57 = 0 .
Đường thẳng d2 đi qua điểm B ( 4 ; 3 ) và có một vectơ pháp tuyến là n2 → = 4 ; − 3 .
Do đó phương trình tổng quát của d2 là 4 ( x – 4 ) – 3 ( y – 3 ) = 0 hay 4 x – 3 y – 7 = 0 .
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm có tọa độ 2069 ; − 403207 .
Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ 2069 ; − 403207 .
Thay tọa độ 2069 ; − 403207 vào phương trình tham số d1 ta được :

Vậy sau 17207 giờ kể từ thời gian xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất .

c) Vì tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên thời gian tàu A chạy là t = 0, do đó tàu A đứng ở vị trí A(3; – 4).

Xem thêm: Ẩm thực Nhật Bản – Wikipedia tiếng Việt

Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu chính là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B chính là đường thẳng d2 : 4 x – 3 y – 7 = 0 .

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí khởi đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km .

Source: https://dichvusuachua24h.com
Category : Du Lịch