Bạn đang xem

20 trang mẫu

của tài liệu “SKKN Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong Hình học 11”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT. Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chương trình hình học 11 và hình học 12, trong đó hình học không gian thuần túy được trình bày trong toàn bộ chương trình hình học 11 và học kỳ I hình học 12. Trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi khảo sát của các trường, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học không gian luôn là phần kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu hỏi phân loại mức độ tư duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó, học sinh không những cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn phải có hệ thống liên kết chặt chẽ các kiến thức, phải có khả năng tư duy sáng tạo. 
	Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Vấn đề về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, tài liệu giáo khoa và các sách tham khảo đã trình bày các khái niệm cơ bản và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, công thức về diện tích hình chiếu. Tuy nhiên trong nhiều bài tập, việc tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian (trong trường hơp giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ) theo cách đã nêu trong sách gặp khó khăn trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính toán nhiều bước phức tạp, mất thời gian, dễ nhầm lẫn dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả thi đặc biệt là trong bối cảnh thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi các bài tập phải được làm một cách nhanh nhất và chính xác. Luôn trăn trở trước việc “làm thế nào để học sinh có cách giải ngắn nhất và nhanh nhất trong khi làm bài tập dạng này”, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi trung học phổ thông quốc gia cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11” nhằm góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả trong quá trình dạy học ở trường THPT.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu mong muốn giúp đỡ các em học sinh khắc phục được điểm yếu đã nêu về hình học không gian, nhận dạng cũng như biết cách giải dạng toán “tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian mà giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ” sau khi các em đã biết cách làm các bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, nhằm góp phần nâng cao nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường trung học phổ thông, tạo sự tự tin, hào hứng học tập môn Toán từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồng nghiệp. 
Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng là một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ.
- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp 11B1, 11B5, 11B6 trường THPT Bỉm Sơn.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1.1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
 Khi hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng vuông góc với, lần lượt cắt và theo giao tuyến và. Lúc đó, góc giữa và bằng góc giữa hai đường thẳng .
(Trang 104 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
1.3. Cho tứ diện vuông có ba cạnh đôi một vuông góc. Gọi là hình chiếu của điểm trên mp. Khi đó ta có .
(Trang 103 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
1.4. Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng .
(Trang 113 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng 
Những khóa trước, sau khi dạy xong bài “Hai mặt phẳng vuông góc”, tôi cho học sinh kiểm tra chuyên đề “góc giữa hai mặt phẳng”, tôi thấy đối với các bài tập tìm góc giữa hai mặt phẳng mà giao tuyến của chúng là đường nằm trong mặt phẳng đáy thì phần lớn các em làm tốt nhưng đến bài tập mà giao tuyến không nằm trong mặt phẳng chứa đáy thì đa số các em không làm được, hoặc chỉ làm được ở một số bài đặc biệt, một số làm được thì làm còn dài không phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay. Trong khi đó bài tập dạng này vẫn được xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thi trung học phổ thông Quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Bản thân tôi cũng đã trao đổi với giáo viên trong trường và một số trường bạn đang dạy khối 11 về bài tập dạng này thì đều được trả lời “dựng cổ điển là ra hết nhưng tính toán hơi dài”. 
Đề tài này mong muốn giúp các em học sinh và các đồng nghiệp giải quyết vấn đề trên và bổ sung thêm một cách tính góc giữa hai mặt phẳng.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Giải pháp thực hiện.
- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ vuông góc, song song; các định lí, hệ thức trong tam giác vuông, tam giác thường.
- Rèn luyện tốt kỹ năng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong các trường hợp cơ bản.
- Hướng dẫn học sinh tìm ra công công thức mới để “tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian mà giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ”.
- Yêu cầu học sinh vận dụng tại lớp sau đó trình bày trước lớp hướng giải hoặc lời giải chi tiết và ra bài tập về nhà để học sinh ghi nhớ phương pháp và rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm.
3.2. Tổ chức thực hiện.
Dựa vào cách xác định góc giữa hai mặt phẳng đã học tôi đưa ra công thức mới tính góc giữa hai mặt phẳng như sau: 
Cho hai mặt phẳng .
Từ điểm, dựng .
Vì 
nên .
Khi đó 
 hay với 
Chú ý: Khi làm bài không cần dựng điểm H mà chỉ cần tính độ dài 
Như vậy bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng ta quy về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà các em đã được học. 
Bài 1: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng, , đáy là hình thang vuông tại và với ,. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Cách mới:
Phân tích: Ta có. 
Chọn điểm. Ta cần tính và .
Lời giải
+ Kẻ tại. 
Ta có 
Do đó (Vì ).
+ Gọi là trung điểm là hình vuông cạnh 
 vuông tại 
.
+ Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và 
 .
Cách cũ: 
+ Ta có .
Kẻ tại, cắt tại .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và 
+ Ta có 
+ Gọi là trung điểm là hình vuông cạnh vuông tại 
Trong mp có 
 và .
+ 
+ Khi đó 
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này ta thấy: 
+ Cách mới chỉ cần tính và, đây là hai phép tính đơn giản.
+ Cách cũ phải tính độ dài các cạnh. Đặc biệt tính khá dài, dễ tính toán sai.
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, và. Tính với là góc giữa hai mặt phẳng và .
Cách mới:
Phân tích: Ta có. 
Chọn điểm. Ta cần tính và .
Lời giải
+ Do là tứ diện vuông nên
 (Vì tại trung điểm I của ) 
+ Ta có 
+ Vậy 
Cách cũ: 
+ Ta có. Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh 
Do đều.
Vì mà 
+ Ta có, 
+ Vì. 
+ Khi đó 
.
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này ta thấy: 
	+ Cách mới chỉ cần tính và. Khoảng cách tính đơn giản dựa vào công thức tính khoảng cách trong hình tứ diện vuông. 
	+ Cách cũ phải tính độ dài các cạnh. Đặc biệt tính phải dùng công thức độ dài đường trung tuyến, học sinh dễ tính toán sai.
Bài 3: Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính, vuông góc với mặt phẳng ,. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Cách mới:
Phân tích: Ta có. 
Chọn điểm. Ta cần tính và .
Lời giải
+ Do là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính nên mà. 
+ Qua dựng đường thẳng, lại có 
.
Dựng 
(Vì ).
Có 
+ Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .
Ta có .
Cách cũ:
+ Ta có .
Kẻ tại, cắt tại .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và 
+ Ta có 
+ Do là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính nên mà mà .
+ 
+ Khi đó 
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này ta thấy rõ ràng cách mới đơn giản hơn rất nhiều. 
Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,. Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và. Tính 
Cách mới:
Phân tích: Ta có. 
Chọn điểm. Ta cần tính và .
Lời giải
+ Gọi lần lượt là trung điểm của và thì và. 
Kẻ tại .
Ta có mà 
 mà 
(Vì ).
Ta có 
+ Vì mà 
.
+ Khi đó .
Cách cũ:
+ Gọi là trung điểm của thì. Kẻ .
Ta có mà 
Kẻ 
+ Ta có: 
Lại có 
.
+ Vì mà 
+
+ Khi đó .
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này ta thấy rõ ràng cách cũ phải tính toán qua rất nhiều bước phức tạp, dễ nhầm lẫn. Hơn nữa, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng cũng không đơn giản.
Bài 5: Cho hình lập phương cạnh. Tính với là góc giữa hai mặt phẳng và. 
Cách mới:
Phân tích: Ta có. 
Chọn điểm. Ta cần tính và .
Lời giải
+ Gọi 
+ Vì là tứ diện vuông nên 
+ Vì nên tam giác đều 
+ Khi đó 
Cách cũ:
+ Gọi 
mà mặt khác 
lại do 
+ Ta có là hình chữ nhật nên 
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này ta thấy rõ ràng nếu làm theo cách cũ thì nhiều học sinh cảm thấy lúng túng vì nhìn hình thấy rất rối, nhiều học sinh không thể tìm được mặt phẳng vuông góc với giao tuyến.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại ,. Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
Phân tích: Ta thấy. Để tìm được mặt phẳng vuông góc với trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài: Chọn điểm, ta cần tính và .
Lời giải
+ Gọi 
+ Do là tứ diện vuông nên 
+ Ta có vuông tại 
+ Khi đó 
Bài 7: Cho khối chóp có đáy là hình bình hành,. Cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh. Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
Phân tích: Ta thấy. Để tìm được mặt phẳng vuông góc với trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài.
Lời giải
+ Ta có : ////
Gọi là trung điểm của. 
Dễ dàng chứng minh được đồng quy tại và lần lượt là trung điểm của và .
+ Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .
+ Hạ .
+ Ta có .
, ,. Mà .
Vậy. 
Bài 8: Cho chóp có đáy là hình chữ nhật,. Lấy H thuộc cạnh sao cho. Biết và. Gọi lần lượt là trung điểm. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và .
Phân tích: Ta thấy. Để tìm được mặt phẳng vuông góc với trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài.
Lời giải
Gọi .
+ Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và 
+ Kẻ tại K. 
Vì là trung điểm AD mà // nên là trung điểm .
Ta có 
+ Kẻ tại T và kẻ tại G.
Xét tam giác vuông ở H có: .
Vậy .
Bài 9: Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng, cạnh bên bằng. Gọi là trung điểm của. Tính sin góc giữa hai mặt phẳng và. 
Phân tích: Ta thấy. Để tìm được mặt phẳng vuông góc với trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài.
Lời giải
+ Gọi là tâm hình chữ nhật và là giao điểm của và .
Suy ra. 
+ Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng và .
+ Gọi, suy ra là trung điểm của vuông tại 
Dựng 
+ Tam giác có, 
. 
Ta có: ; .
. 
Bài 10: Cho hình lăng trụ có, ,. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và. Tính .
Phân tích: Ta thấy. Để tìm được mặt phẳng vuông góc với trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài.
Lời giải
+ Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống mặt đáy. Vì nên chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mặt khác, trong tam giác có, nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm đối xứng với điểm qua trung điểm của đoạn. 
+ Vì. .
+ .
Suy ra .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh bằng tâm cạnh bên bằng Gọi là trung điểm của là điểm đối xứng của qua Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
	Đáp số: 
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng
 	 Đáp số: 
Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật;, , ,. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng và. Tính .
	Đáp số: 
Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và 
	Đáp số: 
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng có ,. Gọi là trung điểm của. Tính sin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
	Đáp số: 
3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Năm học 2018-2019, khi dạy chuyên đề “Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian” chúng tôi chọn lớp 11B1, 11B5 làm lớp dạy học thực nghiệm (lớp sử dụng đề tài và dạy sau chuyên đề “khoảng cách”). Đồng thời cũng nội dung như trên tôi chọn lớp 11B2, 11B6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài) (các lớp đều học chương trình nâng cao; lớp 11B1, 11B2 là lớp khối D có lực học tương đương nhau; lớp 11B5, 11B6 là lớp khối A có lực học tương đương nhau – đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy và qua kết quả thi học kì 1 của hai lớp). Tôi nhận thấy, ở lớp 11B2, 11B6 đa số các em chỉ làm được các bài tính góc giữa hai mặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng nằm ở mặt phẳng chứa đáy của đa diện, còn trong trường hợp giao tuyến không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của đa diện học sinh thường lúng túng không xác định được góc giữa hai mặt phẳng hoặc xác định được nhưng không tính được số đo góc dẫn đến chán nản và cho rằng hình học không gian quá khó. Ở lớp 11B1,11B5 tôi thấy có hiệu quả rõ rệt, các em có hứng thú, đam mê học tập hơn hẳn, các e có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến là các bài khó hơn; đặc biệt là các em rất vui khi các bài toán “tính góc giữa hai mặt phẳng” trong các đề thi khảo sát, đề thi thử trung học phổ thông Quốc Gia đa số các em đều có thể giải quyết một cách dễ dàng.
Sau khi dạy học thực nghiệm và đối chứng, tôi tiến hành cho học sinh bốn lớp làm bài kiểm tra 45 phút và thu được kết quả thống kê theo bảng sau: 
Lớp
Sĩ số
Kết quả
Giỏi
Khá
Tr.bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11B1
45
15
33,3
21
46,7
7
15,6
2
4,4
0
0
11B2
40
5
12,5
15
37,5
15
37,5
5
12,5
0
0
11B5
43
18
14,6
20
24,4
5
48,8
0
0
0
0
11B6
37
3
8,1
17
45,9
10
27,1
7
18,9
0
0
Qua quá trình thực nghiệm với những kết quả trên đây tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng trong dạyhọc chủ đề “Góc giữa hai mặt phẳng” của hình học không gian lớp 11.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận.
Bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian là một bài toán được khai thác tương đối nhiều trong các đề thi, nó có thể xuất hiện ở giả thiết cũng có thể xuất hiện ở kết luận. Để giải quyết hiệu quả bài toán dạng này học sinh cần nắm vững cả 4 phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian (3 phương pháp đã nêu trong sách giáo khoa và một phương pháp trong sáng kiến kinh nghiệm) để vận dụng linh hoạt cho từng bài toán cụ thể.
 Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trong trường hơp giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình đa diện là bài toán khó đối với nhiều học sinh, nó đòi hỏi người học phải vận dụng được kiến thức tổng hợp. Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán, giúp các em rút ngắn thời gian làm bài và đặc biệt tạo niềm say mê học tập của học sinh trung học phổ thông. Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11” 
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em yêu thích hình học không gian hơn tạo niềm say mê học tập cho các em. Thực nghiệm cho thấy có khoảng 80% học sinh giải quyết khá tốt các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong sách giáo khoa và trong các đề thi. Tôi nhận định khả năng ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy trong nhà trường sẽ đạt hiệu quả cao.
2. Kiến nghị.
- Thiết nghĩ đề tài này là một vấn đề mới, giúp học sinh giải quyết nhanh chóng bài toán “tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trong trường hợp giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình đa diện” - một dạng khó trong các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy tôi hy vọng đề tài này được nhân rộng trong nhà trường và các đồng nghiệp.
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo viên các trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn. 
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán nâng cao của hình học không gian để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ‏‎ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình tự viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
 Phùng Thị Mai Hoa
	TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa hình học 11 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách bài tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách bài tập hình học 11 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục.
Đề thi thử trung học phổ thông Quốc gia trên cả nước.
Mạng Internet 
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU.
Lý do chọn đề tài.
1
Mục đích nghiên cứu.
1
Đối tượng nghiên cứu.
2
Phương pháp nghiên cứu.
2
II. NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
17
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
Kết luận.
19
Kiến nghị.
19

Source: https://dichvusuachua24h.com
Category : Du Lịch