2 cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Nếu như việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trên mặt phẳng không có gì khó khăn thì việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trong không gian lại khá là phức tạp.

Thông thường bạn sẽ cần thực hiện các bước sau:

Bạn đang đọc: 2 cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng đã cho, tiếp theo tìm giao điểm của đường thẳng vừa viết và đường thẳng đã cho, và ở đầu cuối là tính khoảng cách giữa giao điểm vừa tìm được với điểm đã cho .
Các bước trên dù không quá phức tạp nhưng nó cũng tốn khá nhiều thời hạn và công sức của con người, đặc biệt quan trọng vì thống kê giám sát khá nhiều nên dễ xảy ra sai sót .
Vậy nên ngày hôm nay, mình sẽ hướng dẫn các bạn cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong khoảng trống bằng một cách khác thuận tiện hơn khá nhiều. Cách này hầu hết dựa vào tích có hướng hoặc máy tính CASIO fx-580VN X .
Đọc thêm :

I. Trường hợp: Điểm và đường thẳng nằm trên mặt phẳng

#1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm $ M_1 $ và đường thẳng USD ( d ) USD biết $ M_1 = ( x_1 ; y_1 ) USD và đường thẳng USD ( d ) : Ax + By + C = 0 USD
USD ( M_1 ; ( d ) ) = \ frac { | Ax_1 + By_1 + C | } { \ sqrt { A ^ 2 + B ^ 2 } } $

#2. Ví dụ minh họa

Tính khoảng cách từ điểm $ A = ( 2 ; 3 ) USD đến đường thẳng USD ( d ) : 2 x + 3 y + 5 = 0 $ [ / toggle ]

Lời Giải:

Áp dụng công thức $ \ frac { | Ax_1 + By_1 + C | } { \ sqrt { A ^ 2 + B ^ 2 } } $ ta được $ \ frac { | 2.2 + 3.3 + 5 | } { \ sqrt { 2 ^ 2 + 3 ^ 2 } } = \ frac { 18 \ sqrt { 13 } } { 13 } \ approx 5 USD
=> Vậy khoảng cách từ điểm $ A = ( 2 ; 3 ) USD đến đường thẳng USD ( d ) : 2 x + 3 y + 5 = 0 USD gần bằng 5 ĐVĐD

II. Trường hợp: Điểm và đường thẳng nằm trong không gian

#1. Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm $ M_1 = ( x_1 ; y_1 ; z_1 ) USD đến đường thẳng USD ( d ) : \ frac { x-x_0 } { p } = \ frac { y-y_0 } { q } = \ frac { z-z_0 } { r } $
USD \ frac { \ sqrt { [ ( y_ { 1 } – y_ { 0 } ). r-q. ( z_ { 1 } – z_ { 0 } ) ] ^ { 2 } + [ ( z_ { 1 } – z_ { 0 } ). p-r ( x_ { 1 } – x_ { 0 } ) ] ^ { 2 } + [ ( x_ { 1 } – x_ { 0 } ). q-p ( y_ { 1 } – y_ { 0 } ) ] ^ { 2 } } } { \ sqrt { p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 } } $

#2. Cách chứng minh

Dễ thấy đường thẳng USD ( d ) USD đi qua điểm $ M_0 = ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) USD và có véc-tơ chỉ phương $ \ vec { u } = ( p ; q ; r ) USD
USD \ overrightarrow { M_0M_1 } $ và $ \ vec { u } = \ overrightarrow { M_0I } $ tạo thành một hình bình hành có diện tích quy hoạnh S

USD h = M_1H = \ frac { S } { | \ overrightarrow { M_0I } | } = \ frac { | [ \ overrightarrow { M_0M_1 } ; \ vec { u } ] | } { | \ vec { u } | } $

#3. Ví dụ minh họa

Tính khoảng cách từ điểm $ A = ( 1 ; 5 ; 4 ) USD đến đường thẳng USD ( d ) : \ frac { x-1 } { – 2 } = \ frac { y-1 } { 1 } = \ frac { z } { 3 } $

Lời Giải:

Dễ thấy đường thẳng USD ( d ) USD đi qua điểm $ M_0 = ( 1 ; 1 ; 0 ) USD và có véc-tơ chỉ phương $ \ vec { u } = ( – 2 ; 1 ; 3 ) USD
Suy ra $ \ overrightarrow { M_0A } = ( 0 ; 4 ; 4 ) USD
Tích có hướng của $ \ overrightarrow { M_0A } $ và $ \ vec { u } $ bằng USD ( 8 ; – 8 ; 8 ) USD
Độ dài tích có hướng của $ \ overrightarrow { M_0A } $ và $ \ vec { u } $ bằng $ \ sqrt { ( 8 ) ^ 2 + ( – 8 ) ^ 2 + ( 8 ) ^ 2 } = 8 \ sqrt { 3 } $

Độ dài $\vec{u}$ bằng $\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(3)^2}=\sqrt{14}$

Xem thêm: Có nên mở thẻ tín dụng HSBC? Những lưu ý khi mở thẻ HSBC

=> Vậy khoảng cách từ điểm $ A $ đến đường thẳng USD ( d ) USD là $ \ frac { 8 \ sqrt { 3 } } { \ sqrt { 14 } } = \ frac { 4 \ sqrt { 42 } } { 7 } \ approx 3.7 $

#4. Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng CASIO fx-580VN X

Bước 1. Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2. Lần lượt gán $\overrightarrow{M_0A}, \vec{u}$ cho VctA, VctB

Bước 3. Tích tích có hướng của $\overrightarrow{M_0A}$ và $\vec{u}$

Bước 4. Tính khoảng cách theo công thức (Abs(VctAns))⨼(Abs(VctB))

Chú ý ⨼ là phím phân số

III. Lời kết

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trong không gian (ý mình là tính trực tiếp ý) tuy là có, nhưng quá phức tạp và rất khó nhớ. Bạn chỉ có thể nhớ được khi bạn có trí nhớ rất rất tốt.

Vậy nên thay vì cố gắng nỗ lực nhớ một cách máy móc bạn hãy xem phần # 2 trong mục II ( cách chứng minh ) để biết cách mà mình đã dùng để kiến thiết xây dựng công thức, từ đó việc ghi nhớ công thức cũng thuận tiện hơn .
Trong quy trình vận dụng nếu là …

Tự luận thì bạn có thể dựa vào nội dung trong mục con phần #2 trong mục II (cách chứng minh) hoặc phần #3 trong mục II (ví dụ minh họa) để trình bày theo.

Trắc nghiệm thì bạn hãy áp dụng công thức hoặc thủ thuật tính nhanh bằng máy tính CASIO fx-580VN X nhé.

Hi vọng bài viết này sẽ có ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !
Đọc thêm :

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Xem thêm: Tên Gian Hàng Ẩm Thực Độc Lạ ❤️️185+ Tên Độc Đáo Nhất