Một số khái niệm[sửa|sửa mã nguồn]
Một số khái niệm[sửa|sửa mã nguồn]
Vectơ chỉ phương của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Vectơ
u
→
≠
0
→
{\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}}
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0}
k
u
→
{\displaystyle k{\vec {u}}}
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Vectơ
n
→
≠
0
→
{\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}}
k
≠
0
{\displaystyle k\neq 0}
, vectơ
k
n
→
{\displaystyle k{\vec {n}}}
Bạn đang đọc: Phương trình đường thẳng – Wikipedia tiếng Việt
Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương
a
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)}
n
→
=
(
−
b
,
a
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)}
n
→
=
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
a
→
=
(
−
b
,
a
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)}
a
→
=
(
b
,
−
a
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ
n
1
→
=
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}
n
2
→
=
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
với
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
.
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Dạng tham số[sửa|sửa mã nguồn]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm
M
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0})}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}
{
x
=
x
0
+
u
1
t
y
=
y
0
+
u
2
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}}
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
Dạng chính tắc[sửa|sửa mã nguồn]
Nếu
u
1
≠
0
{\displaystyle u_{1}\neq 0}
u
2
≠
0
{\displaystyle u_{2}\neq 0}
x
−
x
0
u
1
=
y
−
y
0
u
2
{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}}
Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc
Dạng tổng quát[sửa|sửa mã nguồn]
Phương trình ax+by+c=0 với
a
2
+
b
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Các trường hợp đặc biệt quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]
Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm
A
(
0
;
−
c
b
)
{\displaystyle A(0;-{c \over b})}
Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm
B
(
−
c
a
;
0
)
{\displaystyle B(-{c \over a};0)}
Đường thẳng ax + by = 0 ( c = 0 ) đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 )
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn[sửa|sửa mã nguồn]
Đường thẳng đi qua 2 điểm
A
(
x
0
;
0
)
{\displaystyle A(x_{0};0)}
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
B
(
0
;
y
0
)
{\displaystyle B(0;y_{0})}
y
0
≠
0
{\displaystyle y_{0}\neq 0}
x
x
0
+
y
y
0
=
1
{\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1}
Hệ số góc của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc
α
{\displaystyle \alpha }
k
=
tan
α
{\displaystyle k=\tan \alpha }
Đường thẳng có vecto chỉ phương
u
→
=
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}
thì có hệ số góc
k
=
u
2
u
1
{\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}}
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến
n
→
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}
thì có hệ số góc
k
=
−
a
b
{\displaystyle k=-{a \over b}}
Hai đường thẳng song song có thông số góc bằng nhau .Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 thông số góc là – 1 .
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho 2 đường thẳng : ( D ) Ax + By + C = 0 và ( d ) ax + by + c = 0
(D) cắt (d)
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A
a
≠
B
b
{\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}}
{
A
x
+
B
y
+
C
=
0
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}
(D) // (d)
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A
a
=
B
b
≠
C
c
{\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}
Xem thêm: So sánh ẩm thực Trung Quốc và Việt Nam
(D)
≡
{\displaystyle \equiv }
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
A:B:C = a:b:c
Góc giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi
n
1
→
=
(
A
1
,
B
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})}
n
2
→
=
(
A
2
,
B
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})}
α
{\displaystyle \alpha }
là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó
cos
α
=
|
n
1
→
.
n
2
→
|
|
n
1
→
|
|
n
2
→
|
=
|
A
1
A
2
+
B
1
B
2
|
(
A
1
2
+
B
1
2
)
(
A
2
2
+
B
2
2
)
{\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}
2 đường thẳng vuông góc thì
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì
α
=
0
∘
{\displaystyle \alpha =0^{\circ }}
Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và
M
(
x
0
,
y
0
)
∉
(
d
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)}
d
(
M
,
d
)
=
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
Vị trí của 2 điểm so với đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm
M
(
x
M
,
y
M
)
{\displaystyle M(x_{M},y_{M})}
N
(
x
N
,
y
N
)
{\displaystyle N(x_{N},y_{N})}
m
=
a
x
M
+
b
y
M
+
c
{\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}
n
=
a
x
N
+
b
y
N
+
c
{\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}
Phương trình đường thẳng trong khoảng trống[sửa|sửa mã nguồn]
Dạng tham số[sửa|sửa mã nguồn]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
{
x
=
x
0
+
u
1
t
y
=
y
0
+
u
2
t
z
=
z
0
+
u
3
t
{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}}
t
∈
R
{\displaystyle t\in R}
ta được một điểm thuộc đường thẳng.
Dạng chính tắc[sửa|sửa mã nguồn]
Nếu cả
u
1
{\displaystyle u_{1}}
u
2
{\displaystyle u_{2}}
u
3
{\displaystyle u_{3}}
x
−
x
0
u
1
=
y
−
y
0
u
2
=
z
−
z
0
u
3
{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}}
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
và (d’) có vectơ chỉ phương
u
′
→
=
(
u
1
′
,
u
2
′
,
u
3
′
)
{\displaystyle {\vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})}
(d)
≡
{\displaystyle \equiv }
(d’)
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
,
u
′
→
]
=
[
u
→
,
M
M
′
→
]
=
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u’}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM’}}]={\vec {0}}}
(d)//(d’)
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
,
u
′
→
]
=
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u’}}]={\vec {0}}}
[
u
→
,
M
M
′
→
]
≠
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM’}}]\neq {\vec {0}}}
(d) cắt (d’)
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
[
u
→
;
u
′
→
]
≠
0
→
M
M
′
→
.
[
u
→
;
u
′
→
]
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u’}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM’}}.[{\vec {u}};{\vec {u’}}]=0\end{cases}}}
(d) và (d’) chéo nhau
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
M
M
′
→
.
[
u
→
;
u
′
→
]
≠
0
{\displaystyle {\vec {MM’}}.[{\vec {u}};{\vec {u’}}]\neq 0}
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]
Cho đường thẳng (d) đi qua điểm
M
0
{\displaystyle M_{0}}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
d
[
M
,
(
d
)
]
=
|
[
M
0
M
→
,
u
→
]
|
|
u
→
|
{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
[sửa|sửa mã nguồn]
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
u
→
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}
và đường thẳng (d’) có vectơ chỉ phương
u
′
→
=
(
u
1
′
,
u
2
′
,
u
3
′
)
{\displaystyle {\vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})}
. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’,y’,z’) là một điểm nằm trên (d’). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d’) là
d
[
(
d
)
,
(
d
′
)
]
=
|
[
u
→
,
u
′
→
]
.
M
M
′
→
|
|
[
u
→
,
u
′
→
]
|
{\displaystyle d[(d),(d’)]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u’}}].{\vec {MM’}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u’}}]\right\vert }}
Đường thẳng
Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]
Source: https://dichvusuachua24h.com
Category : Du Lịch