Phương trình đường thẳng – Wikipedia tiếng Việt

Một số khái niệm[sửa|sửa mã nguồn]

Vectơ chỉ phương của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Vectơ

u

0

{\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}}

{\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với

k

0

{\displaystyle k\neq 0}

{\displaystyle k\neq 0}

, vectơ

k

u

{\displaystyle k{\vec {u}}}

{\displaystyle k{\vec {u}}} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Vectơ

n

0

{\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}}

{\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với

k

0

{\displaystyle k\neq 0}

, vectơ

k

n

{\displaystyle k{\vec {n}}}

{\displaystyle k{\vec {n}}} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương

a

=
(
a
,
b
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)}

{\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)} thì có vectơ pháp tuyến là

n

=
(

b
,
a
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)}

{\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)} hay

n

=
(
b
,

a
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}

{\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến

n

=
(
a
,
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}

{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có vectơ chỉ phương là

a

=
(

b
,
a
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)}

{\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)} hay

a

=
(
b
,

a
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}

{\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ

n

1

=
(

A

1

,

B

1

,

C

1

)

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} và vectơ

n

2

=
(

A

2

,

B

2

,

C

2

)

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa

n

1

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}} với

n

2

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}} hoặc giữa

n

2

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}

với

n

1

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}

.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Dạng tham số[sửa|sửa mã nguồn]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm

M
(

x

0

,

y

0

)

{\displaystyle M(x_{0},y_{0})}

{\displaystyle M(x_{0},y_{0})} và nhận

u

=
(

u

1

,

u

2

)

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

{

x
=

x

0

+

u

1

t

y
=

y

0

+

u

2

t

{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị

t

R

{\displaystyle t\in R}

{\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu

u

1


0

{\displaystyle u_{1}\neq 0}

{\displaystyle u_{1}\neq 0}

u

2


0

{\displaystyle u_{2}\neq 0}

{\displaystyle u_{2}\neq 0}, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc

x

x

0

u

1

=

y

y

0

u

2

{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}}

{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}}

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quát[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình ax+by+c=0 với

a

2

+

b

2


0

{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}

{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó

n

=
(
a
,
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]

Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm

A
(
0
;

c
b

)

{\displaystyle A(0;-{c \over b})}

{\displaystyle A(0;-{c \over b})}

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm

B
(

c
a

;
0
)

{\displaystyle B(-{c \over a};0)}

{\displaystyle B(-{c \over a};0)}

Đường thẳng ax + by = 0 ( c = 0 ) đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 )

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn[sửa|sửa mã nguồn]

Đường thẳng đi qua 2 điểm

A
(

x

0

;
0
)

{\displaystyle A(x_{0};0)}

{\displaystyle A(x_{0};0)}(

x

0


0

{\displaystyle x_{0}\neq 0}

{\displaystyle x_{0}\neq 0}) và

B
(
0
;

y

0

)

{\displaystyle B(0;y_{0})}

{\displaystyle B(0;y_{0})}(

y

0


0

{\displaystyle y_{0}\neq 0}

{\displaystyle y_{0}\neq 0}) thì có thể được viết dưới dạng phương trình

x

x

0

+

y

y

0

=
1

{\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1}

{\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1}

Hệ số góc của đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc

α

{\displaystyle \alpha }

\alpha . Đặt

k
=
tan

α

{\displaystyle k=\tan \alpha }

{\displaystyle k=\tan \alpha }, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương

u

=
(

u

1

,

u

2

)

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}

thì có hệ số góc

k
=

u

2

u

1

{\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}}

{\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}}

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến

n

=
(
a
,
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}

thì có hệ số góc

k
=

a
b

{\displaystyle k=-{a \over b}}

{\displaystyle k=-{a \over b}}

Hai đường thẳng song song có thông số góc bằng nhau .Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 thông số góc là – 1 .

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho 2 đường thẳng : ( D ) Ax + By + C = 0 và ( d ) ax + by + c = 0

(D) cắt (d)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

\Leftrightarrow

A
a

B
b

{\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}}

{\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình

{

A
x
+
B
y
+
C
=
0

a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}

(D) // (d)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

A
a

=

B
b

C
c

{\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}

{\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}

(D)

{\displaystyle \equiv }

\equiv (d)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

A:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi

n

1

=
(

A

1

,

B

1

)

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})}

{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} là vectơ pháp tuyến của (D) và

n

2

=
(

A

2

,

B

2

)

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})}

{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi

α

{\displaystyle \alpha }

là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó

cos

α
=

|

n

1

.

n

2

|

|

n

1

|

|

n

2

|

=

|

A

1

A

2

+

B

1

B

2

|

(

A

1

2

+

B

1

2

)
(

A

2

2

+

B

2

2

)

{\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}

{\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert  \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert  \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}

2 đường thẳng vuông góc thì

α
=

90

{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}

{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì

α
=

0

{\displaystyle \alpha =0^{\circ }}

{\displaystyle \alpha =0^{\circ }}

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và

M
(

x

0

,

y

0

)

(
d
)

{\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)}

{\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)}, khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức

d
(
M
,
d
)
=

|

a

x

0

+
b

y

0

+
c

|

a

2

+

b

2

{\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

{\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

Vị trí của 2 điểm so với đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm

M
(

x

M

,

y

M

)

{\displaystyle M(x_{M},y_{M})}

{\displaystyle M(x_{M},y_{M})},

N
(

x

N

,

y

N

)

{\displaystyle N(x_{N},y_{N})}

{\displaystyle N(x_{N},y_{N})} không nằm trên (d). Xét các biểu thức

m
=
a

x

M

+
b

y

M

+
c

{\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}

{\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}

n
=
a

x

N

+
b

y

N

+
c

{\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}

{\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}, khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong khoảng trống[sửa|sửa mã nguồn]

Dạng tham số[sửa|sửa mã nguồn]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm

M
(

x

0

,

y

0

,

z

0

)

{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}

{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} và nhận

u

=
(

u

1

,

u

2

,

u

3

)

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

{

x
=

x

0

+

u

1

t

y
=

y

0

+

u

2

t

z
=

z

0

+

u

3

t

{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị

t

R

{\displaystyle t\in R}

ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu cả

u

1

{\displaystyle u_{1}}

{\displaystyle u_{1}},

u

2

{\displaystyle u_{2}}

{\displaystyle u_{2}},

u

3

{\displaystyle u_{3}}

{\displaystyle u_{3}} đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc

x

x

0

u

1

=

y

y

0

u

2

=

z

z

0

u

3

{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}}

{\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}}

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương

u

=
(

u

1

,

u

2

,

u

3

)

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}

và (d’) có vectơ chỉ phương

u

=
(

u

1

,

u

2

,

u

3

)

{\displaystyle {\vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})}

{\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’,y’,z’) là một điểm nằm trên (d’). Ta có:

(d)

{\displaystyle \equiv }

(d’)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

[

u

,

u

]
=
[

u

,

M

M

]
=

0

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u’}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM’}}]={\vec {0}}}

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}

(d)//(d’)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

[

u

,

u

]
=

0

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u’}}]={\vec {0}}}

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}}

[

u

,

M

M

]

0

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM’}}]\neq {\vec {0}}}

{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}

(d) cắt (d’)

{\displaystyle \Leftrightarrow }

{

[

u

;

u

]

0

M

M

.
[

u

;

u

]
=
0

{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u’}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM’}}.[{\vec {u}};{\vec {u’}}]=0\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}

(d) và (d’) chéo nhau

{\displaystyle \Leftrightarrow }

M

M

.
[

u

;

u

]

0

{\displaystyle {\vec {MM’}}.[{\vec {u}};{\vec {u’}}]\neq 0}

{\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đường thẳng (d) đi qua điểm

M

0

{\displaystyle M_{0}}

{\displaystyle M_{0}} và có vectơ chỉ phương

u

{\displaystyle {\vec {u}}}

{\vec  {u}}. Khoảng cách từ điểm M đến (d) là

d
[
M
,
(
d
)
]
=

|

[

M

0

M

,

u

]

|

|

u

|

{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}

{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert  \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

[sửa|sửa mã nguồn]

Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương

u

=
(

u

1

,

u

2

,

u

3

)

{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}

và đường thẳng (d’) có vectơ chỉ phương

u

=
(

u

1

,

u

2

,

u

3

)

{\displaystyle {\vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})}

. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’,y’,z’) là một điểm nằm trên (d’). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d’) là

d
[
(
d
)
,
(

d

)
]
=

|

[

u

,

u

]
.

M

M

|

|

[

u

,

u

]

|

{\displaystyle d[(d),(d’)]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u’}}].{\vec {MM’}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u’}}]\right\vert }}

{\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert  \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}

Đường thẳng

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Dịch vụ liên quan

Thủ Dầu Một có gì chơi, có gì vui – Top 8 địa điểm du lịch ấn tượng – Vi Vu Xuyên Việt

Thành phố Thủ Dầu Một thuộc tỉnh Tỉnh Bình Dương là nơi có nhiều khu...

Các Địa Điểm Du Lịch Los Angeles Truyền Cảm Hứng – Klook Blog

Đã đến lúc ghi lại những địa điểm du lịch Los Angeles đầy sức hút,...

Du Lịch Mandalay: Có Gì Ở Thành Phố Lớn Thứ Nhì Myanmar? – Klook Blog

Bạn muốn khám phá những ngôi đền cổ kính, những lịch sử huy hoàng của...

Tham quan du lịch là gì? Các loại hình tham quan du lịch?

Tham quan du lịch là gì ? Các mô hình tham quan du lịch ?...

Điểm đến của du lịch quốc tế trong năm mới

Những “cơn mưa” giải thưởng quốc tế Nếu so với lượng khách quốc tế đạt...

Đặng hoàng giang điểm đến của cuộc đời?

GhimBạn đang đọc: Đặng hoàng giang điểm đến của cuộc đời? 0 Chia SẻBạn đang...
Alternate Text Gọi ngay