Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Bạn đang đọc: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu – Toán lớp 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng
và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

d > R thì d không cắt ( S ) .
d = R thì d tiếp xúc ( S ). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S ) ta làm như sau :
Thay x = x0 + at ; y = y0 + bt ; z = z0 + ct vào phương trình mặt cầu
=> t = …. => Tọa độ giao điểm .
d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng
.
Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau. Tích của hai giá trị đó bằng

A. 16
B. 12
C. 14
D. 10

Hướng dẫn giải

+ Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 0 ; – 2 ) và nửa đường kính R = 2

Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp

+ Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA = IB = R = 2 .
Lại có các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB .
=> Tam giác IAB vuông cân tại I .

Suy ra

+ Mà

Suy ra m = – 2 hoặc m = – 6 và tích cần tìm là ( – 2 ). ( – 6 ) = 12 .
Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và và mặt cầu ( S):
x2+ y2 + z2 – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

A. 0
B. 1
C. 2 .
D. 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 0 ; – 2 ) và nửa đường kính R = 2 .

Ta có

Vì d ( I, Δ ) > R nên không cắt mặt cầu ( S ) .
Chọn A .

Ví dụ: 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và mặt cầu ( S):
(x-1)2+ ( y+ 3)2 + ( z- 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( 2 + t + 1 ) 2 + ( 1 + mt + 3 ) 2 + ( – 2 t – 2 ) 2 = 1
⇔ ( t + 1 ) 2 + ( mt + 4 ) 2 + ( 2 t + 2 ) 2 = 1
⇔ t2 + 2 t + 1 + m2t2 + 8 mt + 16 + 4 t2 + 8 t + 4 – 1 = 0
⇔ ( mét vuông + 5 ) t2 + 2 ( 5 + 4 m ) t + 20 = 0 ( * * )
Để không cắt mặt cầu ( S ) thì ( * * ) vô nghiệm, hay ( * * ) có Δ ’
.

Chọn A .

Ví dụ: 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+3)2 + ( z- 2)2 =1và đường thằng
. Giá trị của m để đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S) là:

A.

B.
.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( 2 + t-1 ) 2 + ( 1 + mt + 3 ) 2 + ( – 2 t – 2 ) 2 = 1
⇔ ( t + 1 ) 2 + ( mt + 4 ) 2 + ( 2 t + 2 ) 2 = 1
⇔ t2 + 2 t + 1 + m2t2 + 8 mt + 16 + 4 t2 + 8 t + 4 – 1 = 0
⇔ ( mét vuông + 5 ) t2 + 2 ( 5 + 4 m ) t + 20 = 0 ( * * )
Để Δ tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì ( * * ) có nghiệm kép nên :

.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 +( y+1)2 + (z- 1)2 = 4 và đường thẳng
. Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m 5 .
B. m > – 2 hoặc m – 5
C. m = 2 hoặc m = – 5
D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn nhu cầu .

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) vào ( * ) ta được :
22 + ( 1 – t + 1 ) 2 + ( mt – 1 ) 2 = 4
⇔ 4 + 4 – 4 t + t2 + t + m2t2 – 2 mt + 1 – 4 = 0
⇔ ( mét vuông + 1 ) t2 – ( 3 + 2 m ) t + 5 = 0 ( * * )
Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( * * ) có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ > 0 ⇔ ( 3 + 2 m ) 2 – 4. 5. ( mét vuông + 1 ) > 0
⇔ 9 + 12 m + 4 mét vuông – 20 mét vuông – 20 > 0
⇔ – 16 mét vuông + 12 m – 11 > 0 ( phi lí – vì – 16 mét vuông + 12 m – 11 Ví dụ: 6

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y+ 6z – 67= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:

A. 3 .
B. 0 .
C. 1
D. 2

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M(-2; 0; 3) và có VTCP

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 2 ; – 3 ) và nửa đường kính R = 9 .

Ta có

Vì d ( I ; Δ ) Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt cầu ( S): ( x-1)2 + ( y+ m)2+ z2 = 1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu
( S) có điểm chung?

A. – 1 ≤ m ≤ 0 .
B. m > – 2 hoặc m 1 hoặc m D. Đáp án khác

Xem thêm: Ngất ngây những món ăn ngon ở Buôn Ma Thuột thử ngay kẻo lỡ

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( 1 – t – 1 ) 2 + ( 1 + m ) 2 + t2 = 1
⇔ t2 + 1 + 2 m + mét vuông + t2 – 1 = 0
⇔ 2 t2 + 2 m + mét vuông = 0
⇔ t2 = – m – mét vuông ( * * )
Để đường thẳng d và mặt cầu ( S ) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( * * ) có nghiệm nên : – m – mét vuông ≥ 0 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0 .
Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2+ 2x – 4y+ 4z= 0 và đường thẳng
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt

A. 2
B. 3
C. 4
D. Vô số
Hiển thị lời giải
+ Mặt cầu ( S ) có tâm I ( – 1 ; 2 ; – 2 ) và nửa đường kính R = 3

Đường thẳng d qua M( 2; 0; m) và vtcp

+ Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi :

Mà m nguyên nên m = – 5 ; m = – 4 hoặc m = – 3
Chọn B.

Quảng cáo

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và và mặt cầu ( S):
x2+ y2 + z2 – 2x- 2z + 1= 0. Số điểm chung của và ( S) là

A. 0
B. 1
C. 2 .
D. 3
Hiển thị lời giải

Đường thẳng d đi qua M( 1; -2; 0) và có VTCP
.

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 1 ; 0 ) và nửa đường kính R = 1 .
Ta có :

Vì d ( I ; d ) > 1 nên d không cắt mặt cầu ( S ) .
Chọn A .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và mặt cầu ( S):
x2+ ( y- 2)2 + ( z+ 2)2= 1. Giá trị của m để đường thẳng d không cắt mặt cầu ( S) là

:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được : x
( 1 – t ) 2 + ( mt – 2 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 = 1
⇔ 1 – 2 t + t2 + m2t2 – 4 mt + 4 + 16 – 1 = 0
⇔ ( mét vuông + 1 ) t2 – 2 ( 1 + 2 m ) t + 20 = 0 ( * * )
Để d không cắt mặt cầu ( S ) thì ( * * ) vô nghiệm, hay ( * * ) có Δ ’ Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x2 + ( y+3)2 + z2 = 4 và đường thẳng
Giá trị của m để đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) là:

A. m 3
B. m = 1 hoặc m = – 3 .
C.không có giá trị nào của m thỏa mãn nhu cầu

D.

Hiển thị lời giải
Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( – 1 + 2 t ) 2 + ( 0 + 3 ) 2 + ( – 1 + mt ) 2 = 4
⇔ 1 – 4 t + 4 t2 + 9 + 1 – 2 mt + m2t2 – 4 = 0
⇔ ( mét vuông + 4 ) t2 – 2 ( 2 + m ) t + 7 = 0
Để d tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì ( * * ) có nghiệm kép nên :

⇔ 4 + 4 m + mét vuông – 7 mét vuông – 28 = 0
⇔ – 6 mét vuông + 4 m – 24 = 0 ( phương trình vô nghiệm vì Δ = 42-4. ( – 6 ). ( – 24 ) Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): (x- 2)2 +( y-1)2 + (z- 1)2 =1 và đường thẳng
. Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m 5 .
B. m > – 2 hoặc m – 5
C. m = 2 hoặc m = – 5
D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn nhu cầu .
Hiển thị lời giải
Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( t – 2 ) 2 + ( – t – 1 ) 2 + ( mt – 1 ) 2 = 1
⇔ t2 – 4 t + 4 + t2 + 2 t + 1 + mét vuông t2 – 2 mt + 1 – 1 = 0
⇔ ( mét vuông + 2 ) t2 – 2 ( 1 + m ) t + 5 = 0
Để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( * * ) có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ ‘ > 0 ⇔ ( 1 + m ) 2 – 5 ( mét vuông + 2 ) > 0
⇔ 1 + 2 m + mét vuông – 5 mét vuông – 10 > 0
⇔ – 4 mét vuông + 2 m – 9 > 0 phi lí
vì thông số a = – 4 Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và và mặt cầu
(S): x2+ y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:

A. 3 .
B. 0 .
C. 1
D. 2
Hiển thị lời giải

Đường thẳng d đi qua M(1; 1;0) và có VTCP

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; – 2 ; 1 ) và nửa đường kính R = 3 .
Ta có

Vì d ( I ; Δ ) > R nên d không cắt mặt cầu ( S ) .
Chọn B .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt cầu ( S): ( x+2)2 + ( y- m)2+ (z-1)2 = 4. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu
( S) có điểm chung?

A. – 1 ≤ m ≤ 0 .
B. m = 2
C. m > 2
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) vào ( * ) ta được :
( – t + 2 ) 2 + ( t – m ) 2 + ( 3-1 ) 2 = 4
⇔ t2 – 4 t + 4 + t2 – 2 mt + mét vuông + 4 – 4 = 0
⇔ 2 t2 – 2 ( 2 + m ) t + 4 + mét vuông = 0 ( * * )
Để đường thẳng d và mặt cầu ( S ) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( * * ) có nghiệm nên : Δ ‘ ≥ 0 ⇔ ( 2 + m ) 2 – 2 ( 4 + mét vuông ) ≥ 0
⇔ 4 + 4 m + mét vuông – 8 – 2 mét vuông ≥ 0 ⇔ – mét vuông + 4 m – 4 ≥ 0
⇔ – ( m-2 ) 2 ≥ 0 ⇔ m = 2
Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm: Top 10 nhà hàng biển Hải Tiến Thanh Hóa đồ ăn ngon, giá tốt

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp