Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz

Bài viết này Vted ra mắt đến quý thầy cô và các em học viên 3 trong 10 bài toán Biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz được trích từ Bài giảng khóa VDC PRO XMAX, ba bài toán này hay gặp thuộc mức độ vận dụng trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Bài toán 1: Mặt phẳng qua một điểm, biện luận khoảng cách từ điểm thứ hai đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $ \ left ( P \ right ) USD đi qua điểm USD M, USD biện luận USD d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ). $

Gọi $H=h/c\left( A,\left( P \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=AH;0\le AH\le AM=\mathbf{const.}$

Bạn đang đọc: Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz | Học toán online chất lượng cao 2023 | Vted

Vậy USD d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ max } } = AM \ Leftrightarrow H \ equiv M \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { AM } ; d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ min } } = 0 \ Leftrightarrow AH = 0 \ Leftrightarrow A \ in \ left ( P \ right ). $

Ví  dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng \[(\alpha ):a\left( x-2 \right)+b\left( y+1 \right)+c\left( z+2 \right)=0,\left( a,b,c\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right).\] Khi khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ lớn nhất thì $(\alpha )$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $N\left( -2;1;2 \right).$

B. $P\left( 3;3;0 \right).$

C. \[M\left( 1;-5;-1 \right).\]

D. $Q\left( 1;9;1 \right).$

Giải. Vì \[A\left( 2;-1;-2 \right)\in (\alpha )\Rightarrow d{{\left( O,(\alpha ) \right)}_{\max }}=OA=3\Leftrightarrow (\alpha )\bot \overrightarrow{OA}\left( 2;-1;-2 \right).\]

Do đó \ [ ( \ alpha ) : 2 \ left ( x-2 \ right ) – \ left ( y + 1 \ right ) – 2 \ left ( z + 2 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow ( \ alpha ) : 2 x – y-2z-9 = 0 \ ] đi qua điểm \ [ M \ left ( 1 ; – 5 ; – 1 \ right ). \ ] Chọn đáp án C .

Bài toán 2: Mặt phẳng chứa một đường thẳng, biện luận khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $ \ left ( P \ right ) USD chứa đường thẳng USD d, USD biện luận USD d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ). $
Gọi $ H = h / c \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) ; K = h / c \ left ( A, d \ right ) \ Rightarrow d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) = AH ; d \ left ( A, d \ right ) = AK \ Rightarrow 0 \ le AH \ le AK = \ mathbf { const. } $

Vậy USD d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ max } } = d \ left ( A, d \ right ) \ Leftrightarrow H \ equiv K \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { AK } ; d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ min } } = 0 \ Leftrightarrow AH = 0 \ Leftrightarrow A \ in \ left ( P \ right ) \ Rightarrow \ left ( P \ right ) \ equiv mp \ left ( A, d \ right ). $

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Phương trình của $\left( P \right)$ là

A. $2y-z=0.$

B. $2y+z=0.$

C. $y+z=0.$

D. $y-z=0.$

Giải. Gọi $H\left( 1;0;0 \right)=h/c\left( A,Ox \right);K=h/c\left( A,\left( P \right) \right)$ khi đó

USD d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) = AK \ le AH = 2 \ sqrt { 2 }. $ Dấu bằng xảy ra khi USD K \ equiv H \ Rightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { AH } \ left ( 0 ; – 2 ; – 2 \ right ) \ Rightarrow \ left ( P \ right ) : y + z = 0. $ Chọn đáp án C .

Ví  dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng \[(\alpha ):\left( a+2b \right)x+by+\left( 2a+b \right)z+3a+b=0,\left( a,b\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right).\] Khi khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

A. $\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$

B. $\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$

C. \[\dfrac{5}{2}.\]

D. $\dfrac{2}{5}.$

Giải. Note: Với mặt phẳng phụ thuộc 2 tham số (bậc nhất) sẽ chứa một đường thẳng cố định.

Xét các điểm cố định và thắt chặt có tọa độ USD ( x ; y ; z ) USD thuộc mặt phẳng USD ( \ alpha ) USD
\ [ \ begin { gathered } \ left ( { a + 2 b } \ right ) x + by + \ left ( { 2 a + b } \ right ) z + 3 a + b = 0, \ forall a, b \ hfill \ \ \ Leftrightarrow a \ left ( { x + 2 z + 3 } \ right ) + b \ left ( { 2 x + y + z + 1 } \ right ) = 0, \ forall a, b \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } x + 2 z + 3 = 0 \ hfill \ \ 2 x + y + z + 1 = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } x = – 3 – 2 t \ hfill \ \ y = 5 + 3 t \ hfill \ \ z = t \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Rightarrow ( \ alpha ) \ supset d : \ left \ { \ begin { gathered } x = – 3 – 2 t \ hfill \ \ y = 5 + 3 t \ hfill \ \ z = t \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]
Gọi $ H = h / c \ left ( O, ( \ alpha ) \ right ) ; K = h / c \ left ( O, d \ right ) \ Rightarrow OH \ le OK = \ mathbf { const }. $
Vậy \ [ d { { \ left ( O, ( \ alpha ) \ right ) } _ { \ max } } = OK = d \ left ( O, d \ right ) = \ dfrac { \ left | \ left [ \ overrightarrow { OM }, \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right ] \ right | } { \ left | \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ right | } = \ dfrac { \ sqrt { 10 } } { 2 }, M \ left ( – 3 ; 5 ; 0 \ right ) \ in d, \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ left ( – 2 ; 3 ; 1 \ right ). \ ] Chọn đáp án A .

Cách 2: Có $d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| 3a+b \right|}{\sqrt{{{\left( a+2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 2a+b \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{{{\left( t+2 \right)}^{2}}+1+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}},\left( t=\dfrac{a}{b} \right).$

Xét hàm số USD g ( t ) = \ dfrac { { { \ left ( 3 t + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } { { { \ left ( t + 2 \ right ) } ^ { 2 } } + 1 + { { \ left ( 2 t + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ Rightarrow \ underset { \ mathbb { R } } { \ mathop { \ max } } \, g ( t ) = g ( – 2 ) = \ dfrac { 5 } { 2 } $
USD \ Rightarrow \ dfrac { \ left | 3 t + 1 \ right | } { \ sqrt { { { \ left ( t + 2 \ right ) } ^ { 2 } } + 1 + { { \ left ( 2 t + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } } \ le \ sqrt { \ dfrac { 5 } { 2 } }. $ Chọn đáp án A .

Ví dụ 3: Trong không gian \[\text{Ox}yz,\] cho điểm \[A\left( 3;3;-3 \right)\] và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-9}{10}.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng \[d\] sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Điểm nào dưới đây thuộc$\left( P \right)$?

A. $A\left( 1;1;7 \right).$

B. $D\left( -1;1;7 \right).$

C. $B\left( 1;1;-7 \right).$

D. $C\left( 1;-1;7 \right).$

Giải. Gọi $H=h/c(A,(P));K=h/c(A,d)$ khi đó $d(A,(P))=AH\le AK=\mathbf{const.}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[H\equiv K\Leftrightarrow (P)\] qua $K$ vuông góc với $AK.$

Gọi USD K \ left ( 1 + 2 t ; 2 + 3 t ; 9 + 10 t \ right ) \ in d \ Rightarrow \ overrightarrow { AK }. \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } = 0 USD
USD \ Leftrightarrow \ left ( 2 t – 2 ; 3 t – 1 ; 10 t + 12 \ right ) \ left ( 2 ; 3 ; 10 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow 2 \ left ( 2 t – 2 \ right ) + 3 \ left ( 3 t – 1 \ right ) + 10 \ left ( 10 t + 12 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = – 1. $
Vì vậy USD K \ left ( – 1 ; – 1 ; – 1 \ right ), \ overrightarrow { AK } \ left ( – 4 ; – 4 ; 2 \ right ) / / \ left ( 2 ; 2 ; – 1 \ right ) \ Rightarrow ( P ) : 2 x + 2 y – z + 3 = 0 $ đi qua điểm $ A \ left ( 1 ; 1 ; 7 \ right ). $ Chọn đáp án A .

Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;-1;2 \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-2z+3=0$ và cách điểm $N\left( 1;2;0 \right)$ một khoảng lớn nhất có phương trình là

A. $11x-9y+z-44=0.$

B. $19x-9y+5z-76=0.$

C. $17x-13y+2z-68=0.$

D. $15x-y+7z-60=0.$

Giải. Thử đáp án các em thực hiện: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0;M\in \left( P \right);d{{\left( N,\left( P \right) \right)}_{\max }}$ chọn đáp án C.

Xem thêm: So sánh ẩm thực Trung Quốc và Việt Nam

Cách 1: Hình học

Mặt phẳng $ \ left ( P \ right ) USD đi qua điểm USD M \ left ( 3 ; – 1 ; 2 \ right ) USD vuông góc với mặt phẳng $ \ left ( Q \ right ) : x + y-2z+3 = 0 USD nên $ \ left ( P \ right ) USD chứa đường thẳng USD d USD qua điểm USD M \ left ( 3 ; – 1 ; 2 \ right ) USD vuông góc với mặt phẳng $ \ left ( Q \ right ) : x + y-2z+3 = 0 USD
Phương trình của USD d : \ left \ { \ begin { gathered } x = 3 + t \ hfill \ \ y = – 1 + t \ hfill \ \ z = 2 – 2 t \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $

Gọi $ H = h / c \ left ( N, d \ right ) ; K = h / c \ left ( N, \ left ( P \ right ) \ right ) \ Rightarrow d \ left ( N, \ left ( P \ right ) \ right ) = NK \ le NH = d \ left ( N, d \ right ) = \ mathbf { const }. $
Dấu bằng xảy ra khi USD K \ equiv H \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { NH } $
Gọi $ H \ left ( 3 + t ; – 1 + t ; 2-2 t \ right ) \ in d \ Rightarrow \ overrightarrow { NH } \ left ( t + 2 ; t-3 ; – 2 t + 2 \ right ) \ bot \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ left ( 1 ; 1 ; – 2 \ right ) USD
USD \ Leftrightarrow \ left ( t + 2 \ right ) + \ left ( t-3 \ right ) – 2 \ left ( – 2 t + 2 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = \ dfrac { 5 } { 6 } $
USD \ Rightarrow \ overrightarrow { NH } \ left ( \ dfrac { 17 } { 6 } ; – \ dfrac { 13 } { 6 } ; \ dfrac { 2 } { 6 } \ right ) | | \ left ( 17 ; – 13 ; 2 \ right ) \ Rightarrow \ left ( P \ right ) : 17 x – 13 y + 2 z – 68 = 0. $ Chọn đáp án C .

Cách 2: Gọi $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;a;b \right)\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\left( 1;1;-2 \right)\Leftrightarrow 1+a-2b=0\Leftrightarrow a=2b-1\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2b-1;b \right)$

USD \ Rightarrow \ left ( P \ right ) : 1 \ left ( x-3 \ right ) + \ left ( 2 b – 1 \ right ) \ left ( y + 1 \ right ) + b \ left ( z-2 \ right ) = 0 USD
USD \ Rightarrow d \ left ( N, \ left ( P \ right ) \ right ) = g \ left ( b \ right ) = \ dfrac { \ left | – 2 + 3 \ left ( 2 b – 1 \ right ) – 2 b \ right | } { \ sqrt { 1 + { { \ left ( 2 b – 1 \ right ) } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } } \ le \ underset { \ mathbb { R } } { \ mathop { \ max } } \, g \ left ( b \ right ) = g \ left ( \ dfrac { 2 } { 17 } \ right ) = \ sqrt { \ dfrac { 77 } { 6 } }. $
Dấu bằng đạt tại USD b = \ dfrac { 2 } { 17 } \ Rightarrow \ left ( P \ right ) : 1 \ left ( x-3 \ right ) – \ dfrac { 13 } { 17 } \ left ( y + 1 \ right ) + \ dfrac { 2 } { 17 } \ left ( z-2 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) : 17 x – 13 y + 2 z – 68 = 0. $ Ta có cùng tác dụng .

Bài toán 3: Cho khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, biện luận khoảng cách từ điểm thứ hai đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $ \ left ( P \ right ) USD có USD d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ), USD biện luận USD d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ). $
Gọi $ H = h / c \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) ; K = h / c \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) \ Rightarrow d \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) = AH ; d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) = BK. $
USD \ Rightarrow AH \ le AK \ le AB + BK = AB + d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) = \ mathbf { const. } $ Vậy \ [ d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ max } } = AB + d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) \ Leftrightarrow H \ equiv K \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { AB } \ ] và $ A, B, H $ thẳng hàng theo thứ tự $ \ overrightarrow { BH } = \ dfrac { d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) } { AB } \ overrightarrow { AB }. $

+ Nếu $ AB \ ge d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) \ Rightarrow AH \ ge 0 \ Rightarrow d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ min } } = 0 \ Leftrightarrow AH = 0 \ Leftrightarrow A \ in \ left ( P \ right ) USD

+ Nếu $AB

USD \ Rightarrow d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ min } } = d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) – AB \ Leftrightarrow H \ equiv K \ Leftrightarrow \ left ( P \ right ) \ bot \ overrightarrow { AB } $ và $ B, A, H $ thẳng hàng theo thứ tự hay $ \ overrightarrow { BH } = \ dfrac { d \ left ( B, \ left ( P \ right ) \ right ) } { BA } \ overrightarrow { BA }. $

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cách gốc toạ độ $O$ một khoảng bằng $1.$ Khi khoảng cách từ $A(0;4;-3)$ đến $(P)$ lớn nhất thì $(P)$ qua điểm nào dưới đây?

A. $M(0;-2;-1).$

B. $N(-2;0;1).$

C. $P(-1;0;2).$

D. $Q(-2;1;0).$

Giải. Gọi $H=\mathbf{h/c(O,(P))}\Rightarrow OH=d(O,(P))=1.$

Ta có $ d ( A, ( P ) ) \ le AH \ le AO + OH = 5 + 1 = 6 \ Rightarrow d { { \ left ( A, \ left ( P \ right ) \ right ) } _ { \ max } } = 6 USD dấu bằng phải xảy ra khi $ A, O, H $ thẳng hàng theo thứ tự hay $ \ overrightarrow { OH } = – \ dfrac { OH } { OA } \ overrightarrow { OA } = – \ dfrac { 1 } { 5 } \ overrightarrow { OA } = – \ dfrac { 1 } { 5 } ( 0 ; 4 ; – 3 ) = \ left ( 0 ; – \ dfrac { 4 } { 5 } ; \ dfrac { 3 } { 5 } \ right ) \ Rightarrow ( P ) : 4 y – 3 z + 5 = 0 $ đi qua điểm USD M ( 0 ; – 2 ; – 1 ). $ Chọn đáp án A .

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;\,2;\,1 \right),B\left( 3;\,4;\,0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+46=0$. Biết rằng khoảng cách từ $A,\,B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lần lượt bằng $6$ và $3$. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ bằng

A. $-3.$

B. $-6.$

C. $3.$

D. $6.$

Giải. Ta có $AB=3=d(A,(P))-d(B,(P)).$ Gọi $H=h/c(B,(P))$ ta có $BH=3,AH\ge d(A,(P))=6.$ Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác có $3+3=AB+BH\ge AH\ge d(A,(P))=6.$

Vậy dấu bằng phải xảy ra tức USD A, B, H $ thẳng hàng theo thứ tự và $ AB \ bot ( P ) USD trong đó điểm $ H $ xác lập bởi $ \ overrightarrow { AH } = \ dfrac { AH } { AB } \ overrightarrow { AB } = 2 ( 2 ; 2 ; – 1 ) \ Rightarrow H ( 5 ; 6 ; – 1 ). $ Vậy mặt phẳng cần tìm là USD 2 ( x-5 ) + 2 ( y-6 ) – 1 ( z + 1 ) = 0 \ Leftrightarrow 2 x + 2 y – z-23 = 0 \ Leftrightarrow – 4 x – 4 y + 2 z + 46 = 0. $
Vậy USD a + b + c = – 4-4 + 2 = – 6. $ Chọn đáp án B .

Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A(-1;-2;-3),B(-6;10;-3).$ Có bao nhiêu mặt phẳng cách điểm $A$ một khoảng bằng $15$ và cách điểm $B$ một khoảng bằng $2?$

A. USD 2. $

B. USD 1. $

C. USD 3. $

D. USD 4. USD

Giải. Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm, có $AB=13=d(A,(P))-d(B,(P)).$

Gọi $ H = h / c ( B, ( P ) ) \ Rightarrow BH = 2 $ và theo bất đẳng thức tam giác có USD 13 + 2 = AB + BH \ ge AH \ ge d ( A, ( P ) ) = 15. $
Vậy dấu bằng phải xảy ra tức USD A, B, H $ thẳng hàng theo thứ tự và $ AB \ bot ( P ) USD trong đó điểm $ H $ xác lập bởi $ \ overrightarrow { AH } = \ dfrac { AH } { AB } \ overrightarrow { AB } = \ dfrac { 15 } { 13 } ( – 5 ; 12 ; 0 ) \ Rightarrow H $ duy nhất nên có đúng một mặt phẳng thỏa mãn nhu cầu. Chọn đáp án B .

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Xem thêm: Ẩm thực Nhật Bản – Wikipedia tiếng Việt

>> Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng – Trích bài giảng khóa học PRO X tại Vted. vn
\left(>