Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên dưới mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kể đến mặt bên $ \ left ( SHB \ right ) USD .
Kẻ $ AH \ bot HB $ ta có :
USD \ left \ { \ begin { array } { } AK \ bot HB \ \ { } AK \ bot SH \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow AK \ bot \ left ( SHB \ right ) USD
Suy ra $d\left( A;\left( SHB \right) \right)=AK$.
Bạn đang đọc: Tính Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao – Tự Học 365
Cách tính:
Ta có : USD d \ left ( A ; \ left ( SHB \ right ) \ right ) = AK = \ frac { 2 { { S } _ { AHB } } } { HB } $
USD = AB \ sin \ widehat { ABK } = AH. \ sin \ widehat { AHK } $ .Bài tập tính khoảng cách từ một điểm có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có $AB=3a,BC=2a,\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết $SA\bot \left( ABC \right)$.
a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAB \ right ) USD .
b ) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD .Lời giải chi tiết
a ) Dựng $ CH \ bot AB $ ta có : $ \ left \ { \ begin { array } { } CH \ bot AB \ \ { } CH \ bot SA \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow CH \ bot \ left ( SAB \ right ) USD
Do đó
USD d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = CH = CB \ sin \ widehat { ABH } = 2 a \ sin 60 { } ^ \ circ = a \ sqrt { 3 } $ .
b ) Dựng $ CK \ bot AC \ Rightarrow CK \ bot \ left ( SAC \ right ) USD .
Ta có : USD d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = CH = \ frac { 2 { { S } _ { ABC } } } { AC } = \ frac { AB.BC \ sin \ widehat { ABC } } { AC } $
Trong đó $ A { { C } ^ { 2 } } = A { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } – 2BA. BC \ cos \ widehat { B } $
USD \ Rightarrow AC = a \ sqrt { 7 } \ Rightarrow d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = \ frac { 3 a. 2 a. \ sin 60 { } ^ \ circ } { a \ sqrt { 7 } } = \ frac { 3 a \ sqrt { 21 } } { 7 } $ .
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $B=a,AD=a\sqrt{3}$. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.
a ) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $ \ left ( SHD \ right ) USD .
b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SHC \ right ) USD .Lời giải chi tiết
a ) Do tam giác SAB cân tại S nên $ SH \ bot AB $ .
Ta có : USD HA = HD = \ frac { a } { 2 } $ .
Mặt khác $ \ left ( SAB \ right ) \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Dựng $ AE \ bot DH \ Rightarrow AE \ bot \ left ( SHD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( A ; \ left ( SHD \ right ) \ right ) = AE $ .
Mặt khác USD AE = \ frac { AH.AD } { \ sqrt { A { { H } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } } } = \ frac { a \ sqrt { 39 } } { 13 } $ .
b ) Dựng $ DK \ bot CH \ Rightarrow d \ left ( D ; \ left ( SHC \ right ) \ right ) = DK $ .
Ta có : USD CH = \ sqrt { H { { B } ^ { 2 } } + B { { C } ^ { 2 } } } = \ frac { a \ sqrt { 13 } } { 2 } $, USD { { S } _ { HCD } } = \ frac { 1 } { 2 } CD.d \ left ( H ; CD \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ text {. } a \ text {. } a \ sqrt { 3 } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
Do đó USD d \ left ( D ; \ left ( SHC \ right ) \ right ) = \ frac { 2 { { S } _ { HCD } } } { CH } = \ frac { 2 a \ sqrt { 39 } } { 13 } $ .
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có $AD=3a$, $AB=BC=2a$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$.
a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAD \ right ) USD .
b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD .Lời giải chi tiết
a ) Dựng $ CE \ bot AD \ Rightarrow CE \ bot \ left ( SAD \ right ) USD .
Khi đó USD d \ left ( C ; \ left ( SAD \ right ) \ right ) = CE $, do ABCE là hình vuông vắn cạnh USD 2 a $ nên $ CE = AE = 2 a \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SAD \ right ) \ right ) = 2 a USD .
b ) Dựng $ DH \ bot AC \ Rightarrow DH \ bot \ left ( SAC \ right ) USD .
Khi đó USD d \ left ( D ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = DH $ .
Ta có : ABCE là hình vuông vắn nên $ \ widehat { CAD } = 45 { } ^ \ circ USD .
Do đó $ DH = ADsin45 { } ^ \ circ = 3 a. \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 } = \ frac { 3 a \ sqrt { 2 } } { 2 } $ .
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $5a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.
a ) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD .b ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SHD \ right ) USD .
Lời giải chi tiết
a ) Do H là trọng tâm tam giác ABD $ \ Rightarrow H \ in AC $ .
Gọi O là tâm của hình vuông vắn ABCD $ \ Rightarrow BO \ bot AC $ .
Mặt khác $ BO \ bot SH \ Rightarrow BO \ bot \ left ( SAC \ right ) USD
Khi đó USD d \ left ( B ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = BO = \ frac { 5 a \ sqrt { 2 } } { 2 } $ .
b ) Dựng $ CK \ bot HD \ Rightarrow CK \ bot \ left ( SHD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SHD \ right ) \ right ) = CK $ .
Gọi I là trung điểm của AB thì $ H = DI \ cap AO $ .
Khi đó : USD CK = \ frac { 2 { { S } _ { ICD } } } { DI } = \ frac { 2. \ frac { 1 } { 2 } { { S } _ { ABCD } } } { DI } = \ frac { 25 { { a } ^ { 2 } } } { \ sqrt { D { { A } ^ { 2 } } + A { { I } ^ { 2 } } } } = \ frac { 25 { { a } ^ { 2 } } } { \ sqrt { 25 { { a } ^ { 2 } } + { { \ left ( \ frac { 5 a } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } } } = 2 a \ sqrt { 5 } $ .
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh $a$, với $AB=2a$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $.
a ) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng $ \ left ( SAB \ right ) USD .
b ) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $ \ left ( SAC \ right ) USD .Lời giải chi tiết
a ) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh USD a $ nên nó nội tiếp đường tròn đường kính $ AB = 2 a USD .
Dựng $ CH \ bot AB \ Rightarrow CH \ bot \ left ( SAB \ right ) \ Rightarrow d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = CH $ .
Mặt khác $ \ widehat { ABC } = 60 { } ^ \ circ \ Rightarrow CH = BC \ sin 60 { } ^ \ circ = \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
Vậy USD d \ left ( C ; \ left ( SAB \ right ) \ right ) = \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 2 } $ .
b ) Dựng $ DK \ bot AC \ Rightarrow DK \ bot \ left ( SAC \ right ) \ Rightarrow d \ left ( D ; \ left ( SAC \ right ) \ right ) = DK $ .
Do $ \ widehat { DCB } = 120 { } ^ \ circ, \ widehat { ACB } = 90 { } ^ \ circ \ Rightarrow \ widehat { ACD } = 30 { } ^ \ circ \ Rightarrow DK = CD \ sin \ widehat { DCK } = a \ sin 30 { } ^ \ circ = \ frac { a } { 2 } $ .
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, $AB=\sqrt{2},BC=2$. Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( SAM \right)$ cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left( SAM \right)$. Lời giải chi tiết
Ta có USD { { S } _ { ABCD } } = 2 { { S } _ { \ Delta ABC } } = 2 { { S } _ { \ Delta MAB } } = 2 \ Rightarrow { { S } _ { \ Delta ABC } } = { { S } _ { \ Delta MAB } } = 1 USD .
USD \ Rightarrow { { S } _ { \ Delta ABC } } = \ frac { 1 } { 2 }. AB.BC. \ sin \ widehat { ABC } = 1 \ Rightarrow \ sin \ widehat { ABC } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } $ .
Do đó $ \ widehat { ABC } = 45 { } ^ \ circ \ Rightarrow \ widehat { ADM } = 45 { } ^ \ circ USD .
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có :
USD AM = \ sqrt { A { { D } ^ { 2 } } + D { { M } ^ { 2 } } – 2. AD.DM.cos \ widehat { ADM } } = \ frac { \ sqrt { 10 } } { 2 } $
Gọi H là giao điểm của AM và BD $ \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Kẻ BK vuông góc với AM, USD K \ in AM \ Rightarrow BK \ bot AM $ $ \ left ( 1 \ right ) USD .
Ta có $ \ left ( SAM \ right ) \ cap \ left ( SBD \ right ) = SH \ Rightarrow SH \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow SH \ bot BK $ $ \ left ( 2 \ right ) USD .
Từ $ \ left ( 1 \ right ) USD, $ \ left ( 2 \ right ) $ $ \ Rightarrow BK \ bot \ left ( SAM \ right ) \ Rightarrow d \ left ( B ; \ left ( SAM \ right ) \ right ) = BK $ .
Mặt khác USD { { S } _ { \ Delta MAB } } = \ frac { 1 } { 2 }. BK.AM \ Rightarrow BK = \ frac { 2. { { S } _ { \ Delta MAB } } } { AM } = \ frac { 4 } { \ sqrt { 10 } } = \ frac { 2 \ sqrt { 10 } } { 5 } $ .
Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo $AC=BD=2a$. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( A’AB \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính khoảng cách $d\left( B’;\left( A’BD \right) \right)$. Lời giải chi tiết
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
USD \ Rightarrow USD USD HA = HC \ Rightarrow A’H \ bot BD $ ( Do $ \ Delta A’BD $ cân tại A ’ ) .
Do $ \ left ( A’BD \ right ) \ bot \ left ( ABCD \ right ) \ Rightarrow A’H \ bot \ left ( ABCD \ right ) USD .
Ta có : USD A’H = \ frac { 1 } { 2 } BD = a $ ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy ) .
Dựng $ HM \ bot AB \ Rightarrow AB \ bot \ left ( A’HM \ right ) \ Rightarrow \ overset \ frown { A’MH } = 60 { } ^ \ circ USD+) Khi đó: $HM\tan 60{}^\circ =A’H\Rightarrow HM=\frac{a}{\sqrt{3}}$
USD \ Rightarrow AD = 2HM = \ frac { 2 a } { \ sqrt { 3 } } \ Rightarrow AB = 2 a \ sqrt { \ frac { 2 } { 3 } } $
Do : USD A’D / / B’C \ Rightarrow B’C / / \ left ( A’BD \ right ) \ Rightarrow d \ left ( B ‘ ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) = d \ left ( C ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) USD .
Ta có : USD CE = \ frac { CD.CB } { BD } = \ frac { 2 a \ sqrt { 2 } } { 3 } USD. Vậy $ d \ left ( B ‘ ; \ left ( A’BD \ right ) \ right ) = \ frac { 2 a \ sqrt { 2 } } { 3 } $ .
Source: https://dichvusuachua24h.com
Category : Du Lịch