Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – https://dichvusuachua24h.com

Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong hình học không gian Oxyz, ta có nhiều cách để tính được khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu đề cho biết tọa độ 1 điểm và phương trình 1 mặt phẳng thì ta nên dùng công thức dưới đây sẽ cho kết quả nhanh và chính xác.

Cơ sở lý thuyết

Trong không gian Oxyz có điểm P(a; b; c) không thuộc mặt phẳng (α), biết rằng mặt phẳng này có phương trình (α): Ax + By + Cz + D = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P(a; b; c) tới mặt phẳng (α) ta sử dụng công thức:

Bạn đang đọc: Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – https://dichvusuachua24h.com

d ( P, ( α ) ) = $ \ frac { { \ left | { a. A + b. B + c. C + D } \ right | } } { { \ sqrt { { A ^ 2 } + { B ^ 2 } + { C ^ 2 } } } } $

Bài tập có lời giải

Bài tập 1.Trong không gian có mặt phẳng (α): x – 2y + 3z – 4 = 0. Hãy tìm khoảng cách từ P(1; 1; 1) tới mặt phẳng (α)?

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên : d ( P, ( α ) ) = $ \ frac { { \ left | { 1.1 + 1. \ left ( { – 2 } \ right ) + 1. \ left ( 3 \ right ) – 4 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 7 } $
Kết luận : d ( P, ( α ) ) = $ \ frac { { \ sqrt { 14 } } } { 7 } $

Bài tập 2. Cho mặt phẳng (α): x + y + z – 9 = 0. Một điểm P nằm trên trục tọa độ Oz thuộc hệ trục Oxyz, cách (α) là 5. Hãy tìm tọa độ của M?

Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Oz nên nó có tọa độ là P ( 0 ; 0 ; z ) .
Theo công thức khoảng cách ở trên : d ( P, ( α ) ) = 5

$5 = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.z – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow z = 5\sqrt 3 + 9$

Xem thêm: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – Toán lớp 10

Kế luận : P ( 0 ; 0 ; USD 5 \ sqrt 3 + 9 USD )

Bài tập 3. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O của hệ trục Oxyz tới mặt phẳng (Q): 2x – 3y – 5z + 2 = 0

Hướng dẫn giải
Gốc tọa độ của hệ trục Oxyz có tọa độ O ( 0 ; 0 ; 0 )
Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên : d ( O, ( Q. ) ) = $ \ frac { { \ left | { 2.0 + \ left ( { – 3 } \ right ). 0 + \ left ( { – 5 } \ right ). 0 + 2 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 3 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 5 } \ right ) } ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt { 38 } } } { { 19 } } $

Bài tập 4. Một mặt phẳng (α): – x + 2y + 3z – 4 = 0. Biết khoảng cách từ mp (α) tới P thuộc trục Ox là 2. Hãy xác định tọa độ điểm P.

Hướng dẫn giải
Vì P thuộc Ox nên nó có tọa độ P ( x ; 0 ; 0 )
Theo đề bài : d ( P, ( α ) ) = 2

Áp dụng công thức tính khoảng cách: 2 = $\frac{{\left| {\left( { – 1} \right).x + 2.0 + 3.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow x = 2\sqrt {14} – 4$

Xem thêm: Top 10 nhà hàng biển Hải Tiến Thanh Hóa đồ ăn ngon, giá tốt

Vậy P ( USD 2 \ sqrt { 14 } – 4 USD ; 0 ; 0 )
Bài viết khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng tạm dừng ở đây. Với mong ước mỗi bài viết sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo công thức nên nếu còn vướng mắc hay góp ý hãy để lại và Toanhoc. org sẽ giúp bạn xử lý .